Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:

De acuerdo al teorema de pitágoras :

Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:

Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:

Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:

Su solución :

Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:

Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:

Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:

Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:

Identidades trigonométricas de ángulo doble:

Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:

Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :

Ecuaciones trigonométricas

En el post de hoy vamos a aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, que como su nombre indica son ecuaciones que tienen en su expresión contienen razones trigonométricas.
Para la resolución de todas las ecuaciones trigonométricas tendremos en cuenta la circunferencia goniométrica, por tanto, para cada razón trigonométrica habrá dos soluciones entre 0° y 360°. Ademas todas las soluciones se repiten en cada vuelta. Por tanto a la solución particular que busquemos, podemos añadir también la suma o resta de 360°.

CASO 1:
En primer lugar, comenzaremos por los casos más simples, es decir, ecuaciones de primer grado y donde solo intervenga una razón trigonométrica.

Ejemplo 1. Pasos para resolver la ecuación cos x= 1.
1º. En primer lugar, siempre tenemos que despejar la razón trigonométrica. Como en este caso ya esta despejada, vamos al siguiente paso.
2º. Una vez que ya tenemos nuestra razón trigonométrica, aplicaremos la función inversa. Como en este caso se trata del coseno, tendremos que hacer el arcocoseno de 1:
cos x = 1~ x =arccos(1)~ x = 0±360°
Ejemplo 2: Resuelva la ecuación 2senx-2=-1.

1º. Comenzamos despejando nuestra incógnita como si se tratara de una ecuación normal; en este caso la incógnita es senx: senx=1/2.
2º. Realizamos la función inversa, el arcoseno de 1/2, y recordamos que según la ecuación goniométrica habrá dos ángulos donde el sen valga 1/2, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo, luego obtendremos dos soluciones:
x1=30°±360° y x2=150°±360°.

Ejemplo 3: Puede ser que a la hora de hacer la función inversa no tengamos despejada por completo la x, por tanto recordad que la solución habrá que multiplicarla. Halla todas las soluciones posibles de la siguiente ecuación: sen 2x=1/2.
1º. El primer paso ya está realizado, por tanto pasamos al segundo.
2º. Observamos que en este caso no despejamos x, sino 2x:
2×1=30°±360° y 2×2=150°±360°, por tanto: x1=2x( 30°±360°)=60°±720° , x2=2x(150°±360°)=300°±720°

CASO 2:

Vamos a continuar por las ecuaciones de segundo grado en las que también hay únicamente una razón trigonométrica. Este tipo de ecuaciones las resolveremos mediante un cambio de variable, donde a la razón trigonométrica con la que estemos trabajando la llamaremos t.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
1º. En primer lugar realizamos el cambio cos x = t, y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:

2º. Una vez que tenemos los valores de t, tenemos que deshacer el cambio, y obtenemos una ecuación del primer tipo, por tanto puede llegar a haber hasta cuatro soluciones :
- Si t=senx=3, no hay solución, ya que tanto el seno como el coseno son funciones cuyo recorrido va entre -1 y 1.
- Si t= senx=1/2, x1=30°±360° y x2=150°±360°

CASO 3: 
Por último vamos a estudiar las ecuaciones donde intervengan más de una razón trigonométrica. Para poder resolverlas, las tendremos que convertir en una de los casos anteriores y para ello tendremos que aplicar las identidades trigonométricas conocidas que nos relacionan el seno con el coseno, coseno con tangente, seno con tangente… Recuerda que la cosecante es la inversa del seno y la secante la del coseno. Para poder recordar todas las que tenemos que utilizar aquí dejamos una tabla:

Ejemplo: Halla todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica:
1º. En primer lugar, tenemos que poner esta ecuación en función de una única razón trigonométrica, utilizando la 6ª identidad para poner el coseno en función del seno (o viceversa), obtenemos la siguiente ecuación:

2º. Obtenemos una ecuación del segundo grado, luego estamos en el CASO 2, por tanto realizamos el cambio de variable sen x=t y resolvemos la ecuación obtenida:

3º. Por último, deshacemos el cambio y resolvemos:
- Si t=senx=1/2: x1=30°±360° y x2=150°±360°
- Si t =senx=-1/2: x1=210°±360° y x2=330°±360°

BREVE HISTORIA DELAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

RECOMENDACIONES EN EL MANEJO DE LA CALCULADORA

Curiosidades Sobre Las Matemáticas

CURIOSIDADES SOBRE LAS MATEMATICAS

Si te gustan las matemáticas este post te va a encantar, se trata de algunas curiosidades matemáticas que me he encontrado en microcaos el artículo es bastante extenso por lo que solo recopile 50.

1.  Cuenta la leyenda que Sessa, inventor del ajedrez, presentó el juego a Sherán, príncipe de la India, quien quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él eran posibles. Con el fin de recompensarle, le preguntó qué deseaba. Sessa le pidió un corto plazo para meditar la respuesta. Al día siguiente se presentó ante el soberano y le hizo la siguiente petición: «Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla sesenta y cuatro». Sessa pedía, por tanto, que le recompensaran con el siguiente número de granos: 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 63 ; ¡más de 18 trillones!, que es la cosecha que se recogería al sembrar 65 veces toda la tierra. Por supuesto que el príncipe no pudo cumplir su promesa…

2. La geometría (medición de tierra) se inició, como ciencia, en el antiguo Egipto y en Babilonia por la necesidad de realizar mediciones terrestres.

3. El teorema de Pitágoras ha merecido la atención de muchos matemáticos, especialmente de la antigüedad. Actualmente están registradas unas 370 demostraciones de este teorema.

4. Se ha insinuado con bastante frecuencia que el teorema de Pitágoras no es deducción del gran matemático y fundador de la escuela del mismo nombre. La opinión más generalizada es que un miembro de su escuela formuló por primera vez el teorema en una época muy posterior. Pero por el mismo tiempo que vivió Pitágoras, es decir en el siglo VI a. de C., un matemático chino de nombre desconocido debió de haber llegado a la misma conclusión. En el Chon Pei Suan 0 Ching , libro matemático-filosófico, se encuentra una descripción que presenta dibujado, sin ningún género de dudas, un triángulo pitagórico con sus correspondientes relaciones.

5. Platón , en su escuela (la Academia), donde se discutían los más difíciles problemas de la lógica, de la política, del arte, de la vida y de la muerte, había hecho escribir encima de la puerta: «No entre el que no sea geómetra».

6. Arquímedes , pariente y amigo del rey Herón de Siracusa, le escribió una vez que con cualquier fuerza dada es posible mover cualquier peso dado (si hubiera otro mundo al que pudiera ir, podría mover el nuestro). Herón se asombró y suplicó que hiciera lo posible para llevar a cabo su proposición, y que le enseñara algún gran peso movido por una fuerza pequeña. Arquímedes pidió que un barco de tres mástiles de la flota real fuera remolcado a la playa con grandes esfuerzos de muchos hombre y, después de subir a bordo muchos pasajeros y la carga acostumbrada, se sentó a cierta distancia de la nave y, sin mucho esfuerzo, pero lentamente, puso en movimiento un sistema compuesto de poleas con sus manos, tiró de la nave uniformemente hacia él como si estuviera deslizándose por el agua. Plutarco. Life o Marcellus

7. En la primera mitad del siglo III, Diofanto de Alejandría usa los símbolos algebraicos y enuncia las reglas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

8. Mohammeid ibn-Musa Al-Jwarizmi (780-846), matemático árabe, trabajó en la biblioteca del califa Al-Mahmun en Bagdag. De su nombre deriva la palabra algoritmo. Es el autor del trabajo Al-jabr wa´l muqäbala , del cual procede la palabra álgebra. Introdujo en occidente el sistema hindú de numeración decimal, que explicó con todo detalle en su obra Aritmética .

9. El matemático italiano Leonardo de Pisa (1170 – 1240) se le conocía más por Fibonachi o “hijo de Bonaccio”, un conocido mercader de Pisa que tenía negocios en el norte de África. En 1202 publicó un libro titulado Liber abaci , en el que incluye métodos y problemas algebraicos. La sucesión de Fibonacci aparece constantemente en la naturaleza. Citemos dos ejemplos concretos:

10. Si cuentas las escamas de una piña, observarás sorprendido que aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los términos de la sucesión de Fibonacci

11. Lo mismo ocurre con las piñas de girasol; forman una red de espirales, unas van en sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, pero siempre las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

12. Aritmética , de Johann Widman , publicado en Pforaheim en 1500, es el primer compendio práctico para comerciantes utilizado en Alemania.

13. François Viète (1540 – 1603) fue el primero en emplear letras para simbolizar las incógnitas y constantes en las ecuaciones algebraicas

14. El símbolo de raíz se empezó a usar en 1525 y apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra. Antes, para indicar la raíz de un número se escribía “raíz de …”. Luego, para abreviar, se empezó a poner “r”. Pero si el número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras. Así nació el símbolo de la raíz, como una “r” mal hecha.

15. Las dos rayas = que indican igualdad las empezó a utilizar un matemático inglés llamado Robert Recorde que vivió hace más de cuatrocientos años. En uno de sus libros cuenta que eligió ese signo porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”

16. A finales del siglo XVI, un gran matemático francés, François Viète , descifraba con toda facilidad los mensajes secretos de los ejércitos españoles de Felipe II (que serían bastante ingenuos, dado lo que había). Los españoles no lo dudaron ni un instante y acusaron a Viète, ante el Papa, de estar aliado con el diablo.

17. La definición de logaritmo fue dada por John Neper (1550 – 1617) geométricamente como razón entre dos magnitudes.

18. La primera vez que aparece en la historia la idea de lo que iba a ser más tarde la derivada de una función en un punto es con Fermat , hacia 1625. Sin embargo, Fermat no disponía aún de la idea de límite, y así lo único que podía hacer en el cociente incremental ?y / ?x era directamente ?x = 0, lo cual es incorrecto, claro. Aún así, Fermat aplicó la idea al cálculo de máximos y mínimos y de tangentes a curvas.

19. La teoría de probabilidad tiene su origen en los juegos de azar. Hacia 1650, en Francia, un jugador llamado De Mére consultó al matemático Blaise Pascal algunas cuestiones relacionadas con el juego de dados. Pascal mantuvo correspondencia con Fermat, Huygens y Bernoulli. Gracias a todos ellos, la teoría de la probabilidad pasó de ser una mera colección de problemas aislados, relativos a algunos juegos, a ser un sector importante de las matemáticas.

20. Los signos de multiplicación x y división : fueron introducidos por William Oughtred (1574 – 1660) en el año 1657

21. En 1659, en el Álgebra alemana , de Jhoan Rahn , aparece el signo ÷ para indicar la división22. En su Invention Nouvelle en Algebre , el francés Albert Girard (1595 – 1632) introduce por primera vez el uso de los paréntesis, explica el método de descomposición de un polinomio en factores, enuncia el teorema fundamental del álgebra, y usa el ___ colocado entre el numerador y el denominador para indicar una fracción algebraica o numérica.

23. En 1662 el honorable Robert Boyle (1627 – 1691) , séptimo hijo del conde de Cork, llevó a cabo un estudio de los gases que culminó en el reconocimiento de una interdependencia sencilla entre la presión y el volumen. Ley de Boyle: P V = cte (a T y m ctes.)

24. Robert Boyle sostuvo la idea de que todo trabajo experimental debía ser publicado con claridad y rapidez, para que otras personas pudieran repetirlo, confirmarlo y aprender con ello.

25. A René Descartes se le considera como el creador de la Geometría Analítica. Una de sus mayores aportaciones fue el traducir el leguaje geométrico, casi experimental, al lenguaje algebraico.

26. John Théophile Desaguliers (1683 – 1744), físico inglés de origen francés, fue el primer autor que empleó la palabra conductor, para designar los cuerpos que permiten el paso de la corriente eléctrica, y aislante para referirse a los que oponen gran resistencia al paso de dicha corriente.

27. La palabra «derivada» será introducida por Lagrange a final del siglo XVIII, pero de nuevo está ausente la noción de límite.

28. La notación y’ y f´(x) , para la derivada, fueron introducidas por Lagrange , mientras que las formas dy/dx o df/dx se deben a Leibniz .

29. Leibniz fue el primero que utilizó el término función. Para él y para los matemáticos del siglo XVIII, el concepto de relación funcional en sentido matemático estaba más o menos identificado con el de una fórmula algebraica sencilla que expresara la naturaleza exacta de esta dependencia. Leibniz también introdujo los términos constante, variable y parámetros y la notación de derivada anteriormente citada.

30. Leonard Euler estudió la sucesión (1 + 1/n) n . Al límite de esta sucesión se le llamó número e , inicial de su apellido.

31. El primer matemático que utilizó los determinantes en sentido moderno fue el suizo Gabriel Cramer (1704-1752), el año 1750.

32. El análisis de Fourier fue inventado por Jean Baptiste Joseph, barón de Fourier, físico francés, en 1807. Demostró que una onda periódica cuya longitud sea ? se puede sintetizar con una suma de ondas armónicas cuyas longitudes son ?, ?/2, ?/4, etc.

33. El Barón Joseph Fourier (1768-1830) propuso la notación moderna para las integrales (v.)

34. “¡Eureka! num = ??+ ??+ ?”.Esta enigmática inscripción es lo que escribió en su cuaderno de notas Carl Friedrich Gauss cuando descubrió que todo número entero positivo es la suma de tres números triangulares, que son los que cumplen la forma n (n+1) / 2.

35. Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, simbolizó en 1777 la raíz cuadrada de -1 con la letra i (inicial de imaginario).

36. La palabra cero deriva probablemente de “zephirum”, forma latinizada del árabe “sifr” que es, a su vez, una traducción de la palabra hindú “sunya” que significa vacío o nada.

37. La multiplicación era considerada muy difícil y, hasta el siglo XVI, solo se enseñaba en las universidades.

38. Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente.

39. Los matemáticos de la India, en el siglo VII, usaban los números negativos para indicar deudas.

40. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su ” Ars Magna ” (1545) los estudió exhaustivamente.

41. John Wallis (1616 – 1703), en su “Arithmetica Infinitorum” (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

42. Leonard Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur Algebra (1770) trata de demostrar que (-1)(-1) = +1

43. El primero en usar la coma para separar la parte decimal de la fraccionaria fue el astrónomo italiano Giovanni Magini. La invención de los logaritmos generalizó el uso de los números decimales y el escocés John Napier, inventor de los logaritmos neperianos, recomendó en 1617 el uso del punto; el caos siguió durante todo el siglo XVIII aunque al final solo quedaron en competencia el punto y la coma. En el continente europeo el asunto se resolvió en 1698, cuando Leibnitz, propuso usar el punto como símbolo de multiplicación (“en lugar del signo x, que se confunde con x, la incógnita”); quedó así la coma para separar la parte decimal del número. En Inglaterra, sin embargo, donde se habían cerrado las puertas al alemán Leibnitz, se siguió utilizando el símbolo x para la multiplicación y el punto para separar los decimales. En España y América también se usó, y se sigue aceptando, la coma elevada.

44. Los griegos desarrollaron las secciones cónicas unos 400 años antes de nuestra era; unos 2000 años después, Kepler demostró que las trayectorias de los planetas son elipses y Galileo descubrió que las trayectorias de los proyectiles son parábolas.

45. El hecho de que tengamos diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha determinado la adopción del sistema decimal de numeración; aunque con el correr de los siglos se han propuesto y utilizado otros sistemas.

46. El sistema sexagesimal (base 60) fue creado por los babilonios hacia el año 200 antes de Cristo y se usa todavía para medir el tiempo y los ángulos.

47. La civilización maya floreció en Mesoamérica alrededor del siglo IV de nuestra era. Se sabe que tenían dos sistemas de numeración, los dos en base 20. Los aztecas también usaban un sistema vigesimal.

48. En el siglo XVIII, el naturalista francés Georges L. Buffon propuso un sistema de base 12.

49. Joseph L. Lagrange, matemático francés del siglo XVIII, propuso un sistema con once símbolos (base 11).

50. Gottfried W. Leibnitz, inventó el sistema binario (base 2) usado hoy en los ordenadores. Leibnitz vio en este sistema la imagen de la Creación; se imaginó que la unidad (1) representaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema filosófico basado en esas premisas.

USO DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

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taller de trigonometria

EJERCICIOS DE REFUERZO DE TRIGONOMETRIA

1. Desde una orilla de un río se ve la cima de un árbol situado en la otra orilla, con un ángulo de 45º. Si se retrocede 40m se ve con un ángulo de 30º ¿Cual es la altura del árbol?

2. Encuentra en cada caso el ángulo de referencia

     A. 7π/3

     B. 330º

     C. -570

3. Los ángulos x  entre 0º y 360º  para los cuales cscx = -2 son: _______________________

4. Representa gráficamente  sen(a - b) y sen(a + b) para a= 225  y b= 30

5. Encuentra el valor sin hacer uso de la calculadora con ayuda de las identidades básicas

     A. sen 165

     B. tan 15

     C. cos 450

     D. sec 255

6. Demuestra las identidades

        A. Tan²x- sen ²x= tan²x.sen²x

        B. cos A = sen (A + π/2) 

7. Grafica y = -3cos (x + π/4) -1 y realiza su respectivo análisis. 

USO DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Recordemos las Identidades trígonométricas fundamentales

sen A= 1/csc A

cosA= 1/secA

tan A  = 1/ cotA

tan A = senA/ CosA

cos² A + sen² A = 1

sec² A = 1 + tan² A

csc² A = 1 + cot² A

Desarrolla los siguientes ejercicios

1. Si tan θ = 1,2 y  180º <  θ  <270°. Calcula las restantes razones        trigonométricas del ángulo θ con ayuda de las identidades fundamentales.
2. Si sen α = 4/5 y   90º <α <180°. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α
3. Comprueba la identidad trigonométrica tan θ + cot  θ = sec θ. csc  θ
4. Comprueba la identidad trigonométrica cot²A = cos²A + (cotA. cosA)²
5. Comprueba la identidad trigonométrica sec²A + csc²A= 1/(sen²A . cos²A)

ASERTIJOS

Acertijo matemático 1: George Bernard Shaw y su conclusión sobre el trabajo

He encontrado un texto del genial escritor irlandés, premio Nobel de Literatura en 1925, George Bernard Shaw, que trata sobre el tiempo que se trabaja a lo largo de la vida. Dice así.

"El año tiene 365 días de 24 horas, de las cuales 12 están dedicadas a la noche y hacen un total de 182 días, por lo tanto, sólo quedan 183 días hábiles; menos 52 domingos, quedan 131 días; menos 52 sábados, quedan un total de 79 días de trabajo; pero hay 4 horas diarias dedicadas a las comidas, sumando 60 días, lo que quiere decir que quedan 19 días dedicados al trabajo.
Pero como usted goza de 15 días de vacaciones, sólo le quedan cuatro días para trabajar; menos aproximadamente tres de permiso que usted utiliza por estar enfermo o para hacer diligencias, sólo queda un día para trabajar; pero ese día es, precisamente, el “Día del Trabajo”, que es festivo, y por lo tanto no se trabaja.
Entonces… ¿DE QUE SE SIENTE USTED CANSADO?"

Obviamente, no dudamos que el señor George Bernard Shaw fuera un gran escritor, pero demuestra que no sabía mucho de matemáticas. ¿Por qué?

Acertijo 2 - El reino de las esposas infieles

Hace mucho, mucho tiempo, un rey, cansado de que en su reino hubiese mujeres infieles, decide llamar a todos sus súbditos a la plaza real. Él sabía perfectamente quienes eran dichas mujeres, pero no se atrevía a decírselo personalmente a cada uno de los maridos.

Y sabía que sus súbditos eran muy, pero que muy inteligentes.

Y les propone lo siguiente:

"Instalaré en el medio de la plaza una horca para ajusticiar a las mujeres infieles de este reino. Y os daré a cada marido una lista con el nombre de las mujeres infieles excepto la de cada uno en el caso de que lo sea.

Os prohíbo que habléis entre vosotros del tema, y no podéis enseñar la lista a nadie.

Cuando hayáis descubierto si vuestra mujer os es infiel, debéis venir con ella al día siguiente al alba y traerla a la horca. Sólo cada marido podrá traer a la suya.

He dicho".

A la semana, aparecen los maridos con las mujeres infieles. Los hombres, demostrando la inteligencia que el rey presuponía, fueron capaces de descubrirlas. No hubo equivocaciones.

Preguntas:

- ¿Cuantas mujeres infieles había en el reino?

- ¿Cómo fueron capaces los hombres de descubrirlas?

Acertijo 3- División de amebas.

Una determinada especie de amebas se reproduce dividiéndose en dos cada día. Entonces, si hoy tenemos una ameba, mañana tendremos dos, pasado mañana cuatro, etc. Cuando comenzamos con una ameba, se tarda 30 días en llenar una cierta superficie con amebas.
¿Cuánto se tarda en cubrir la misma superficie si comenzamos con dos amebas?

Acertijo 4: adivina donde están los 10 euros que faltan

Tres amigos deciden comprarse una wii para compartirla entre los tres que les cuesta 300 euros según el folleto, así que ponen 100 euros cada uno y se van a comprarla. Cuando llegan a la tienda, la wii está de oferta y cuesta 50 euros menos, así que les cobran sólo 250 euros por la wii. Les devuelven los 50 euros y deciden irse a tomar unas tapas para celebrar que ya tienen su querida y ansiada wii. Les cobran 20 euros por las tapas. Pagan y se reparten los 30 euros que les quedan, de forma que se guardan 10 euros cada uno.

Pero uno de ellos cuando está guardándose los 10 euros dice: "Si hemos puesto cada uno 90 euros, eso hace 270 euros, más los 20 euros de las tapas eso hace un total de 290 euros. ¿Dónde están entonces los 10 euros que faltan?

Acertijo 5: adivina como poner las etiquetas.

Un empleado etiqueta mal tres cajas. Una de ellas contiene naranjas, la otra limones y la que queda naranjas y limones mezclados.

Las 3 cajas están etiquetadas mal.

Pero el empleado se lo cuenta a su compañero, y éste abre sólo una de las tres cajas y coloca correctamente las tres etiquetas. ¿Cómo lo hace?

Acertijo matemático 6

Si comparamos el 0.99999... (con infinitos nueves) y el 1, cuál de estas 3 opciones es la verdadera y porqué?

* 0.99999 ... < 1
* 0.99999 ... = 1
* 0.99999 ... > 1

Acertijo matemático 7

5 3 7 8 9
2 6 4 1 x
8 0 2 0 4

¿Cuánto vale x?

Acertijo matemático 8

¿Qué número continúa la serie?

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211
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