Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Ecuaciones trigonométricas
En el post de hoy vamos a aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, que como su nombre indica son ecuaciones que tienen en su expresión contienen razones trigonométricas.
Para la resolución de todas las ecuaciones trigonométricas tendremos en cuenta la circunferencia goniométrica, por tanto, para cada razón trigonométrica habrá dos soluciones entre 0° y 360°. Ademas todas las soluciones se repiten en cada vuelta. Por tanto a la solución particular que busquemos, podemos añadir también la suma o resta de 360°.
Para la resolución de todas las ecuaciones trigonométricas tendremos en cuenta la circunferencia goniométrica, por tanto, para cada razón trigonométrica habrá dos soluciones entre 0° y 360°. Ademas todas las soluciones se repiten en cada vuelta. Por tanto a la solución particular que busquemos, podemos añadir también la suma o resta de 360°.
CASO 1:
En primer lugar, comenzaremos por los casos más simples, es decir, ecuaciones de primer grado y donde solo intervenga una razón trigonométrica.
En primer lugar, comenzaremos por los casos más simples, es decir, ecuaciones de primer grado y donde solo intervenga una razón trigonométrica.
Ejemplo 1. Pasos para resolver la ecuación cos x= 1.
1º. En primer lugar, siempre tenemos que despejar la razón trigonométrica. Como en este caso ya esta despejada, vamos al siguiente paso.
2º. Una vez que ya tenemos nuestra razón trigonométrica, aplicaremos la función inversa. Como en este caso se trata del coseno, tendremos que hacer el arcocoseno de 1:
cos x = 1~ x =arccos(1)~ x = 0±360°
Ejemplo 2: Resuelva la ecuación 2senx-2=-1.
1º. Comenzamos despejando nuestra incógnita como si se tratara de una ecuación normal; en este caso la incógnita es senx: senx=1/2.
2º. Realizamos la función inversa, el arcoseno de 1/2, y recordamos que según la ecuación goniométrica habrá dos ángulos donde el sen valga 1/2, uno en el primer cuadrante y otro en el segundo, luego obtendremos dos soluciones:
x1=30°±360° y x2=150°±360°.
Ejemplo 3: Puede ser que a la hora de hacer la función inversa no tengamos despejada por completo la x, por tanto recordad que la solución habrá que multiplicarla. Halla todas las soluciones posibles de la siguiente ecuación: sen 2x=1/2.
1º. El primer paso ya está realizado, por tanto pasamos al segundo.
2º. Observamos que en este caso no despejamos x, sino 2x:
2×1=30°±360° y 2×2=150°±360°, por tanto: x1=2x( 30°±360°)=60°±720° , x2=2x(150°±360°)=300°±720°
CASO 2:
Vamos a continuar por las ecuaciones de segundo grado en las que también hay únicamente una razón trigonométrica. Este tipo de ecuaciones las resolveremos mediante un cambio de variable, donde a la razón trigonométrica con la que estemos trabajando la llamaremos t.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
1º. En primer lugar realizamos el cambio cos x = t, y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:
2º. Una vez que tenemos los valores de t, tenemos que deshacer el cambio, y obtenemos una ecuación del primer tipo, por tanto puede llegar a haber hasta cuatro soluciones :
- Si t=senx=3, no hay solución, ya que tanto el seno como el coseno son funciones cuyo recorrido va entre -1 y 1.
- Si t= senx=1/2, x1=30°±360° y x2=150°±360°
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
1º. En primer lugar realizamos el cambio cos x = t, y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:
2º. Una vez que tenemos los valores de t, tenemos que deshacer el cambio, y obtenemos una ecuación del primer tipo, por tanto puede llegar a haber hasta cuatro soluciones :
- Si t=senx=3, no hay solución, ya que tanto el seno como el coseno son funciones cuyo recorrido va entre -1 y 1.
- Si t= senx=1/2, x1=30°±360° y x2=150°±360°
CASO 3:
Por último vamos a estudiar las ecuaciones donde intervengan más de una razón trigonométrica. Para poder resolverlas, las tendremos que convertir en una de los casos anteriores y para ello tendremos que aplicar las identidades trigonométricas conocidas que nos relacionan el seno con el coseno, coseno con tangente, seno con tangente… Recuerda que la cosecante es la inversa del seno y la secante la del coseno. Para poder recordar todas las que tenemos que utilizar aquí dejamos una tabla:
Ejemplo: Halla todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica:
1º. En primer lugar, tenemos que poner esta ecuación en función de una única razón trigonométrica, utilizando la 6ª identidad para poner el coseno en función del seno (o viceversa), obtenemos la siguiente ecuación:
2º. Obtenemos una ecuación del segundo grado, luego estamos en el CASO 2, por tanto realizamos el cambio de variable sen x=t y resolvemos la ecuación obtenida:
3º. Por último, deshacemos el cambio y resolvemos:
- Si t=senx=1/2: x1=30°±360° y x2=150°±360°
- Si t =senx=-1/2: x1=210°±360° y x2=330°±360°
Por último vamos a estudiar las ecuaciones donde intervengan más de una razón trigonométrica. Para poder resolverlas, las tendremos que convertir en una de los casos anteriores y para ello tendremos que aplicar las identidades trigonométricas conocidas que nos relacionan el seno con el coseno, coseno con tangente, seno con tangente… Recuerda que la cosecante es la inversa del seno y la secante la del coseno. Para poder recordar todas las que tenemos que utilizar aquí dejamos una tabla:
Ejemplo: Halla todas las soluciones de la siguiente ecuación trigonométrica:
1º. En primer lugar, tenemos que poner esta ecuación en función de una única razón trigonométrica, utilizando la 6ª identidad para poner el coseno en función del seno (o viceversa), obtenemos la siguiente ecuación:
2º. Obtenemos una ecuación del segundo grado, luego estamos en el CASO 2, por tanto realizamos el cambio de variable sen x=t y resolvemos la ecuación obtenida:
3º. Por último, deshacemos el cambio y resolvemos:
- Si t=senx=1/2: x1=30°±360° y x2=150°±360°
- Si t =senx=-1/2: x1=210°±360° y x2=330°±360°
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